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由题得M坐标是（4，5）
MN的斜率K＝（5－3）／（4－0）＝1／2
MN的垂直平分线的斜率是k'=-1/(1/2)=-2.
MN中点坐标是（2，4）
故MN垂直平分线方程是：y-4=-2(x-2)
令Y＝0，得X＝4
即P坐标是（4，0）
半径^2＝PN^2=16+9=25
故圆P方程是（x-4)^2+y^2=25.

(2)设m=3x+4y,得y=-3x/4+m/4代入圆方程：
x^2-8x+16+9x^2/16+m^2/16-3mx/8=25
25x^2-(128+6m)x+m^2-144=0
判别式＝（128+6m)^2-4*25(m^2-144)>=0
16384+1536m+36m^2-100m^2+14400>=0
64m^2-1536m-30784<=0
m^2--24m-481<=0
（m-37)(m+13)<=0

得-13=即-13<=3x+4y<=37

1,设圆心坐标为（x，0），则3^2+x^2=5^2+(4-x)^2,故x=4，半径为3^2+x^2开根号等于5，所以圆的方程为（x-4）^2+y^2=25
2.由圆的方程，设x=4+5sinA，y=5cosA，则
3x+4y=12+15sinA+20cosA=12+25sin（A+B)
所以其范围是 大于等于-13，小于等于27

其中A，B分别表示角，sinB=4/5

由题意可知，圆的方程式为（x-a）^2+y^2=b^2,将点N（0.，3）M(5,4)代入方程式，可算得a=16/5,b^2=481/25,即方程式为（x-16/5）^2+y^2=481/25.

解：由题意可知M（4，5），N（0,3）
过M,N点的圆，圆点在MN中垂线上，又因为圆心P在X轴上
所以可得 P（4,0）；
半径为5，
圆方程 ：（x-4）.^2+y.^2=25