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求数学高手帮忙

被浏览: 0次 2023年07月26日 16:42

热门回答（2个）

游客1

1.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则
|PF1|2
|PF2|2=2(|PO|2
|F1O|2)＜2(52
c2),
即|PF1|2
|PF2|2＜50
2c2,
又∵|PF1|2
|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2
2|PF1|·|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,
依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16
8c2＜50
2c2,∴c2＜
,
又∵c2=4
b2＜
,∴b2＜
,∴b2=1.
答案：1
2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|
∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2
1
又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=
r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1
又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d=
,
因此，5d2=|a－2b|2=a2
4b2－4ab≥a2
4b2－2(a2
b2)=2b2－a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立慎搭，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有
,
∵r2=2b2,
∴敏尺r2=2
于是所求圆的方程为：(x－1）2
(y－1)2=2或(x
1)2
(y
1)2=2
解法二：设所求圆P的方程为(x－a)2
(y－b)2=r2(r＞0)
设A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2
(y－b)2=r2的两根，
∴y1，2=b±
由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1
设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(x－a)2
b2=r2的两个根，
∴x1，2=a±
由条件②得|CD|=
r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2
1
设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d=
∴a－2b=±
d,得a2=(2b±
d)2=4b2±4
bd
5d2
又∵a2=2b2－1,故有2b2±4
bd
5d2
1=0.把上式看作b的二次方程，
∵方程有实根.
∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1.
∴dmin=
,将其代入2b2±4
bd
5d2
1=0,
得2b2±4b
2=0,解得b=±1.
从而r2=2b2=2,a=±
=±1
于是所求圆的方程为(x－1)2
(y－1)2=2或(x
1)2
(y
1)2=2
歼灭难点训练
一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2
y2
x－6y
m=0,
得(3－2y)2
y2
(3－2y)
m=0.
整理得5y2－20y
12
m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)
则y1y2=
,y1
y2=4.
又∵P、Q在直线x=3－2y上，
∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－宽拿拿6(y1
y2)
9
故y1y2
x1x2=5y1y2－6(y1
y2)
9=m－3=0，故m=3.
答案：A
2.解析：由题意，可设椭圆方程为：
=1,且a2=50
b2,
即方程为
=1.
将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.
由x1
x2=1可求得b2=25,a2=75.
答案：C
二、3.解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|
|PF2|.
欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|
|PF2|最小，利用对称性可解.
答案：
=1
4.解析：设所求圆的方程为(x－a)2
(y－b)2=r2
则有
由此可写所求圆的方程.
答案：x2
y2－2x－12=0或x2
y2－10x－8y
4=0
三、5.解：|MF|max=a
c,|MF|min=a－c,则(a
c)(a－c)=a2－c2=b2,
∴b2=4,设椭圆方程为
①
设过M1和M2的直线方程为y=－x
m
②
将②代入①得：(4
a2)x2－2a2mx
a2m2－4a2=0
③
设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),
则x0=
(x1
x2)=
,y0=－x0
m=
.
代入y=x,得
,
由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1
x2=0,x1x2=－
,
又|M1M2|=
,
代入x1
x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为：
=1.
6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7.解：由e=
,可设椭圆方程为
=1,
又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1
x2=4,y1
y2=2,
又
=1,两式相减，得
=0,
即(x1
x2)(x1－x2)
2(y1
y2)(y1－y2)=0.
化简得
=－1,故直线AB的方程为y=－x
3,
代入椭圆方程得3x2－12x
18－2b2=0.
有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=
,
得
，解得b2=8.
故所求椭圆方程为
=1.