解:
在直角三角形F1AF2中:∵|F1F2|=2c,∴|OA|=c,即A(0,c)或者(0,-c),(利用直角三角形斜边中线等于斜芹枣边一半)
则AF2中点坐标为(c/2,±c/2)
∵中点在双曲线上,b²=c²-a²毕首丛
∴(c/2)²/a²-(±c/2)²/(c²-a²)=1
c²/a²-c²/(c²-a²)=4
令e=c/a,得e²-e²/(e²-1)=4
即e⁴-6e²+4=0
即e²=3±√5
又∵e>1
∴e²=3+√5=(6+2√5)/2=(1²+2√5+(√5)²)/2=(1+√5)²/2
则e=±(1+√手樱5)/√2=±(√2+√10)/2
又∵e>0
∴c/a=(√2+√10)/2