数学高手进，求几道数学题！
1. 每组中的有三个数的算术平均数恰为另一个数，设这个数为x。则另外三个数的和必为3x。从而每组中4个数的和为4x，即是4的倍数。故所有数的和应为4的倍数。注意到
1 + 2 + 3 + ... + 4n = 4n(4n+1)/2=2n(2n+1)
而2n+1为奇数，所以要想使所有数的和为4的倍数，n必须为偶数。事实上，只要n为偶数，那么陵历弯必然存在符合条件的分组方式。对于任意整数k>=0 , 我们可以把连续的八个数
8k+1, 8k+2,8k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8
分为两组
8k+2,8k+3,8k+4,8k+7
8k+1,8k+5,8k+6,8k+8
可以看到，8k+4 = [(8k+2) + (8k+3) + (8k+7)]/3
8k+5 = [(8k+1) + (8k+6) + (8k+8)]/3。
因此，对于任意的偶数n = 2m，可以先把所有的数分成m组烂此，每组为8个连续的正整数，然后每组数按照上述方法再分成两组，使得每组中都有一个数是另三个数的算术平均数。因此n的取值为所有正偶数。
2. 此题x的取值范围似乎不对，感觉应为0 下面假设0<=x<=π/2，因此tanx, cotx, sinx, cosx都为非负实数 (tanx)^sinx+(cotx)^cosx >= 2 ((tanx)^sinx (cotx)^cosx)^(1/2) 只需证明(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1。 (tanx)^sinx (cotx)^cosx = tanx^(sinx - cosx) 当0<=x<=π/4时，tanx >=1，sinx - cosx >=0，显然tanx^(sinx - cosx) >=1。 当π/4<=x<=π/2时，tanx <=1，sinx - cosx <=0，仍然有tanx^(sinx - cosx) >=1。 因此(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1，0<=x<=π/2。 3. 设N为AB与圆的切点。根据弦切角定理容易知道∠BNL = ∠ BKN。从而∠BLN = 180 - ∠BNL - ∠NBK = 180 - ∠ BKN - ∠NBK = ∠BNK。由于BCKN亦为等腰梯形，∠BNK = ∠尺闷NKC。由上两式可得，∠BLN=∠NKC。故∠NLK = 180 - ∠BLN = 180 - ∠NKC = ∠BCD。易知NK‖BC，∠NKB = ∠KBC。我们有△NLK∽△BCK。因此 KL / NL = BC/CK = 2 (易知BC=2CK)。 同样由于∠BNL = ∠ BKN，∠NBL = ∠ NBL，△NBL∽△BNK。从而 NL/BL = NK/BN。 由于KL =2 NL，有KL/BL = 2NK/BN。 同理可证，MK/AM = 2NK/AN。因此 AK/AM + BK/BL = (MK+AM)/AM + (LK+BL)/BL =MK/AM+KL/BL +2 =2(NK/AN+NK/BN)+2。 接下来计算NK/AN+NK/BN。延长BA，CD交与点P。设PA = w，AN = x，BN = y， NK = z。易知 PA/PB = AD/BC，w/(w+x+y) = 2x/2y，可知 w+x+y = yw/x。 同样易知 NK/AD = PN/PA，NK/BC = PB/PN。因此 z/x = 2 NK/AD = 2 PN/PA =2 (w+x)/w =2 (1+ x/w)。 z/y = 2 NK/BC = 2 PB/PN = 2 (w+x)/(w+x+y) =2 (1- y/(w+x+y)) = 2 (1- y/(yw/x)) = 2 (1- x/w)。 可知 NK/AN+NK/BN = z/x + z/y = 2 (1+ x/w) + 2 (1- x/w) = 4。 最终 AK/AM + BK/BL = =2(NK/AN+NK/BN)+2 = 10。 4. 第四题所给的几条曲线似乎都是抛物线。先求公切线的斜率：设公切线方程为y = kx + l，则 -x^2 +(b1-k)x + c1-l = 0 -x^2 +(b2-k)x + c2-l = 0 都只有一个根，因此 Δ1 = (b1-k)^2+4(c1-l)=0 Δ2 = (b2-k)^2+4(c2-l)=0 解之得 k = (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1-b2)。 接下来计算抛物线与T1、T2的交点。 ax^2+bx+c=-x^2+b1x+c1 ax^2+bx+c=-x^2+b2x+c2 要是两曲线相切，上两式的判别式为零 (b-b1)^2 -4(a+1)(c-c1)=0 ... (1) (b-b2)^2 -4(a+1)(c-c2)=0 ... (2) 可解得两切点AB横坐标为 x1=(b1-b)/(2a+a), x2=(b2-b)/(2a+a). AB的斜率为 k'=(y1-y2)/(x1-x2) = [a(x1^2 - x2^2)+b(x1-x2)]/(x1-x2) = a(x1+x2)+b. (1)-(2)可得 a+1=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2]/(c1-c2) a=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2 -4(c1-c2)]/(c1-c2) 因此 k' = [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)]/(c1-c2) * 2{ (c1-c2) (b1-b) / [(b-b1)^2-(b-b2)^2] + (c1-c2) (b2-b) / [(b-b1)^2 -(b-b2)^2]} + b = [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)] * [ (b1-b) +(b2-b) ] / 2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b = (b1+b2 - 2b)/2 - 4(c1-c2) * [ (b1-b) +(b2-b) ] / 2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b = (b1+b2)/2 - 2(c1-c2)/[(b-b1)-(b-b2)] = (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1 - b2) 可见k = k'，两直线平行。
